Le lycée Rabelais a mis en place un atelier d’initiation à la recherche mathématique qui propose de renouer avec les fondements des mathématiques, sans compétition, sans sélection, sans note… juste pour le plaisir et la beauté de la discipline !

Cet atelier constitue une manière différente d’apprendre les mathématiques, dans une approche recherche qui mêle créativité et rigueur. À travers les sujets proposés par un professeur de l’Université de Rennes, chercheur en mathématiques, les élèves découvrent des mathématiques vivantes, omniprésentes dans notre société.

Les jeunes chercheurs se retrouvent toutes les semaines pour travailler en petit groupe sur le sujet choisi, encadrés par le professeur qui anime l’atelier et aide à la synthèse et à la communication.

Ils s’initient à tous les aspects du travail du chercheur : rédaction d’articles, réalisation de posters, communications orales de leurs travaux de recherche.

En fin d’année les élèves présentent leurs résultats au niveau local et national avec notamment la participation au congrès national MATh en JEANS.
En 2016, l’atelier mathématique est finaliste du prix André Parent, à Paris.

Les sujets de recherche de l’Atelier Mathématique

Le professeur Guirardel a proposé quatre sujets de recherche aux élèves :

L’élévateur fantasque :

Un élévateur est actionné par un levier dont les positions sont graduées de 0 à 1. Lorsque le levier est sur 0, l’élévateur est au sol, lorsque le levier est en 1, l’élévateur est à la hauteur 1m. Mais le système de commande est subtil. La notice du constructeur indique :

  • si le levier est entre 1/3 et 2/3, l’élévateur est à 0,5m du sol,
  • si le levier est en x inférieur à 1/3, alors quand on passe à la position 3x, la hauteur de l’élévateur double !
  • la commande est symétrique, si on change la position du levier de commande de x à 1-x, la hauteur de l’élévateur passe de h à 1-h.

Peut-on programmer le fonctionnement de cet élévateur fantasque, c’est-à-dire écrire un algorithme qui calcule la hauteur de l’élévateur en fonction de la position du levier ? Inversement, est-il possible d’avoir un algorithme qui permette de savoir sur quelle position mettre le levier pour atteindre une hauteur donnée ?

Mélanges de cartes aléatoires :

Un mélange est dit fort quand les cartes mélangées sont distribuées « au hasard », quel que soit l’ordre initial. Il existe plusieurs façons de battre les cartes, en voici trois :

  • la coupe : on sépare le paquet en 2 parties, on les échange et on reforme le paquet
  • la coupe triple : on sépare le paquet en trois parties, on les réarrange dans un certain ordre et on reforme le paquet
  • le mélange américain : on coupe le paquet en deux parts égales, puis on reforme le paquet en alternant, une carte d’un paquet puis une carte de l’autre.

On veut savoir quels sont, parmi ces types de mélange les mélanges forts. On peut aussi décider d’utiliser des systèmes mixtes comme par exemple coupe et américain. Quels sont alors les systèmes forts ?Si le système de mélange n’est pas fort, quel type de prédiction peut-on faire ?

Un robot qui joue à saute-mouton :

Un mouton de forme géométrique (bleu) et un robot (rouge) se trouvent sur une table. Le robot se déplace de la façon suivante.

  • Initialement, le robot a le mouton dans son dos.
  • Il tourne sur lui-même dans le sens contraire des aiguilles d’une montre jusqu’à ce qu’il ait en ligne de mire un point du mouton, disons M. 
  • Le robot saute alors par dessus le mouton et se retrouve en une position symétrique par rapport à M , avec le mouton dans son dos. Prêt à recommencer un nouveau saut par dessus le mouton !

Le problème est de savoir si, pour certaines positions de départ, le robot reviendra exactement a son point de départ au bout d’un certain nombre de sauts. Inversement, si on fixe un trajet du robot, peut-on trouver une forme de mouton telle que le robot suivra le trajet donné ?

Une sphère qui roule sur un plan :

Une sphère (globe terrestre) est posée sur une table, le pôle Sud en contact avec la table, le pôle Nord au sommet.

On fait rouler, sans glisser, la sphère sur la table. Par exemple, on fait rouler la sphère le long du méridien de Greenwich jusqu’à ce que l’équateur touche la table, puis on peut faire rouler la sphère le long de l’équateur et de nouveau le long d’un méridien, etc. Le point de contact avec la table dessine un chemin c.

Quels sont les chemins c tels que le pôle Sud revienne au contact de la table ? Si c est un tel chemin, comment calculer l’angle entre l’orientation initiale du méridien de Greenwich et son orientation finale ?